双线性映射是数学中一种重要的函数，它可以将两个向量空间中的元素组合成第三个向量空间中的元素，而且对每个参数都具有线性性质。双线性映射在暗码学、代数几许、数论等规模有着遍及的应用，本文将先容双线性映射的界说、性质、例子和相关问题。
双线性映射的界说
设V, W和X是在同一个基本域F上的三个向量空间。双线性映射是函数B:V×W→X，使得对付任何W中的w，映射v↦B(v,w)是从V到X的线性映射，而且对付任何V中的v，映射w↦B(v,w)是从W到X的线性映射。换句话说，假如保持双线性映射的第一个参数牢靠，并留下第二个参数可变，功效就是线性算子，假如保持第二个参数牢靠也是雷同的。
双线性映射满意以下性质：
- 对付任何λ∈F，B(λv,w)=B(v,λw)=λB(v,w)。
- 双线性映射在每个分量上都是加法运算的分派律，即假如v1,v2∈V和w1,w2∈W，则B(v1+v2,w)=B(v1,w)+B(v2,w)和B(v,w1+w2)=B(v,w1)+B(v,w2)。
- 假如V=W而且有B(v,w)=B(w,v)对付所有V中的v,w，则我们称B是对称的。
- 假如X是基本域F，则我们称之为双线性形式，它出格有用（譬喻：标量积、内积和二次形式）。
假如利用在互换环R上的模替代向量空间，界说不需要任何改变。还可容易地推广到n元函数，这里正确的术语是“多线性”。
双线性映射的例子
- 矩阵乘法是双线性映射M(m,n)×M(n,p)→M(m,p)。
- 假如在实数R上的向量空间V承载了内积，则内积是双线性映射V×V→R。
- 一般地说，对付在域F上的向量空间V，在V上的双线性形式同于双线性映射V×V→F。
- 假如V是有对偶空间V的向量空间，则应用算子b(f,v)=f(v)是从V×V到基本域的双线性映射。
- 设V和W是在同一个基本域F上的向量空间。假如f是V的成员而g是W的成员，则b(v,w)=f(v)g(w)界说双线性映射V×W→F。
- 在R3中，叉积是双线性映射R3×R3→R3。
- 设B:V×W→X是双线性映射，而L:U→W是线性算子，则(v,u)→B(v,Lu)是在V×U上的双线性映射。
- 零映射，界说为B(v,w)=0对付所有V×W中的(v,w)，是从V×W到X同时为双线性映射和线性映射的独一映射。
双线性映射相关问题
给定一个双线性映射e:G×G→Gt，，个中G和Gt都是有限轮回群，我们可以思量以下一些问题：
- 计较问题：给定g1,g2∈G，计较e(g1,g2)。
- 鉴定问题：给定g1,g2∈G和gt∈Gt，判定是否有e(g1,g2)=gt。
- 逆问题：给定g1∈G和gt∈Gt，找到g2∈G使得e(g1,g2)=gt，可能证明不存在这样的g2。
这些问题的难易水平取决于双线性映射的详细形式和参数。一般来说，计较问题是可以高效办理的，而鉴定问题和逆问题是坚苦的。这些问题的坚苦性是暗码学中操作双线性映射结构新的方案的基本。
双线性映射的应用
双线性映射在暗码学中有着遍及的应用，譬喻：
- 基于身份的加密：由Boneh和Franklin于2001年提出的方案，利用双线性映射实现了无需证书的公钥加密。
- 短签名方案：由Boneh、Lynn和Shacham于2004年提出的方案，利用双线性映射生成了长度仅为160比特的签名。
- 聚合签名方案：由Boneh、Gentry、Lynn和Shacham于2003年提出的方案，利用双线性映射将多个签名聚合成一个签名。
- 环签名方案：由Bresson、Stern和Szydlo于2003年提出的方案，利用双线性映射实现了匿名签名。
- 广播加密方案：由Boneh、Gentry和Waters于2005年提出的方案，利用双线性映射实现了高效的密钥打点。
以上是关于双线性映射的观念与应用的扼要先容，但愿对你有所辅佐。
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