*同态加法 :
3/ 找出最小的约数 n，满意
*可能：因为界说 0 为无穷远处，不能基于无穷远处划线。可是因为界说了 0 为单元元，所以以及。
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27 s_theorem_(group_theory)
拉格朗日定理指出，对付任何有限群 G，G 的每个子群 H 的阶次（元素数）城市被 G 的阶次整除。
2.11 同态
互换律：
如下是 b=1, a 从 2 到-3 的椭圆曲线：
虽然，假如 P/Q 是同一个点的话，斜率的计较公式差异。
点加性质：
。
椭圆曲线的数学界说可以查察 Wolfram MathWorld：http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html。不是暗码学可能数学专业的小同伴，看的是一头雾水。便于工程领略，椭圆曲线是一系列满意如下方程的点：
可能
假设椭圆曲线的阶为 N，子群的阶为 n，由拉格朗日定理，。
*，也就是，-Q 是横坐标沟通但纵坐标相反的点，也就是，相对 p/2 对称的点。
2. 有限域上的椭圆曲线
2.1 扩展欧几里得定理
1.4 加法计较推导
有个快速的计较要领：double 后相加。假设 n=151，二进制暗示为：。
很容易看出，在有限域上的椭圆曲线中一个点标量乘法的功效，构成一个在加法操纵下的轮回子群。在子群中的点，所有的加法的功效都还在子群中。并且，存在一个点，幂次（加法操纵）能生成子群中的所有点。这样的点，称为「生成元」。
而且。该方程称为椭圆曲线的 Weierstrass 方程。
原文来历：星想法在上椭圆曲线界说如下：
1.6 对数问题
2.6 在有限群上的椭圆曲线有几多点？
原文标题：《零常识证明 – 椭圆曲线基本》 2.3 在 F_p 界说椭圆曲线 总结： 1.3 椭圆曲线加法计较 * 其他条件下的推导，涉及的公式较量多。有乐趣的小同伴可以自行推导。 单元元 : 单元元是 0 界说和实数上的界说雷同。如下是，p 别离是 19，，97，127，487 对应的椭圆曲线的点。 凡是利用椭圆曲线算法，先选择曲线，计较椭圆曲线的阶，然后在这条曲线上找到最大的子群。找子群，就是寻找子群对应的生成元。 *，而且不存在第三个点相交：这种环境和上一种环境有点雷同，也就是说，P/Q 的连线是椭圆曲线的切线。假如 P 点是切点，。也就是说，。 *单元元就是 0 团结群的界说，可以证明界说的这个加法群，就是阿贝尔群。 椭圆曲线是关于对称，因为 。这条直线有个斜率： 对椭圆曲线的进修，小我私家推荐如下的链接，没有太多的术语，表明的较量清楚。 https://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/ 2/ 找出其所有的约数 2.2 模 p 运算下的乘法逆 椭圆曲线上的点的个数，称为「阶」。假如列举 0～p-1，查察点的个数，不太现实，因为 p 是一个很是大的质数。Schoof 算法能在多项式时间确定椭圆曲线阶：https://en.wikipedia.org/wiki/Schoof%27 s_algorithm。 *点 P 的逆元是点 P 相对 x 坐标的对称点 给以二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得 ax + by = gcd(a,b)。gcd(a,b) 是最大合同数。 区块律动 BlockBeats 提醒，按照银保监会等五部分于 2018 年 8 月宣布《关于防御以「」「」名义举办犯科集资的风险提示》的文件，请宽大公家理性对待区块链，不要盲目相信口不择言的理睬，树立正确的钱币见识和投资理念，切实提高风险意识；对发明的违法犯法线索，可努力向有关部分举报反应。 假设三个点在一条线上，，，。假如 P 和 Q 不是同一个点： 1.1 界说 1.2 基于椭圆曲线的群界说 从而，推导出： 计较标量乘法，最简朴的要领是一个个 P 点相加。假如 n 是 k 位的话，算法巨大度是：。 在模 p 的环境下，这两个等式相等。 2.10 离散对数问题 加法的界说是完备的。针对最普通的环境，就是在椭圆曲线上一条直线能穿过三个点，别离是 P，Q。 绕了一大圈，在有限域上的椭圆曲线上，存在许多个轮回子群。子群是基于加法操纵。 逆元 : 一个椭圆曲线上的点 P 的逆元，是相对 x 坐标的对称点 1.5 标量乘法（Scalar Multiplication） *：假如 P 和 Q 是同一个点的话，那存在多条线穿过这「两个」点。假如把 Q 看作是无限靠近 P 的进程，可以看出，穿过 P 和 Q 的是椭圆曲线在 P 点的切线。假如切线和椭圆曲线相交的点为 R，则，。 上图是的椭圆曲线，个中。图中的黄色的一系列的斜线是的直线。R 就在个中一条斜线上，-R 就是图中标出的 R 的对称点，也就是 P+Q 的功效。 2.9 寻找生成元 *所有椭圆曲线上的点，就是这个群里的元素 1. 实数域上的椭圆曲线 有限域上的椭圆曲线是零常识证明的基本。零常识的实现是基于离散对数问题。从计较的角度来看，F_p 是个有限域，在之基本上成立的椭圆曲线点的运算都是在这个域范畴内。有限域上的椭圆曲线上有许多轮回子群 F_r，具有加法同态的特性。离散对数问题指的是，在轮回子群上已知两点，却很难知道两点的标量。 已知以及点。点 P 的标量乘法的功效是轮回的，只有五个点。 在椭圆曲线的基本上，可以界说一个加法群： … 通过扩展欧几里得定理，可以求得 x 和 y。x 就是 a 的乘法逆。 因为，也就是说。计较的要领就较量直观了：毗连 P 和 Q 划一条线，该线和椭圆曲线交的别的一个点为 R。的功效就是 R 的逆。 已知两个在子群上的点 P 和 Q，求解长短常难的问题。今朝该问题没有多项式时间求解算法。 郑重声明：本文版权归原作者所有，转载文章仅为传播更多信息之目的，如作者信息标记有误，请第一时间联系我们修改或删除，多谢。
