这仿佛也很难，对差池？如果我们需要证明一台呆板知道一个「奥秘」，最简朴的步伐就是我们在呆板的硬盘里，可能内存中找到这个「奥秘」，可是这样袒露了奥秘。假如这台呆板是黑盒子呢？可能是 Alice 呢？我们没有读心术，猜不到她心里的谁人奥秘。
· 靠得住性（Soundness）：Alice 在没有常识的环境下不能通过 Bob 的验证。
Completeness —— 完备性
证明零常识
· 零常识（Zero-knowledge）：Alice 在交互的进程中不会泄露关于常识的任何信息。
下面的问题是如何证明 Alice 知道一个「奥秘」？
为了进一步阐明「常识」，接下来首先先容一个很是简捷，用途遍及的零常识证明系统 —— Schnorr 协议。这个协议代表了一大类的安详协议，所谓的 Σ-协议，并且 Schnorr 协议扩展也是『零常识数据互换协议 zkPoD』[1] 的焦点技能之一。
下面演示 Zlice 如何骗过 Bob：
在『系列（二）领略「模仿」』一文中，我们先容了「模仿器」这个观念。很多先容文章避而不谈「模仿」，但「模仿」可以说是安详协议中焦点的焦点，因为它是界说「安详性」的重要兵器。
Alice 拥有一个奥秘数字，a，我们可以把这个数字想象成「私钥」，然后把它「映射」到椭圆曲线群上的一个点 a*G，简写为 aG。这个点我们把它当做「公钥」。
注：这里我们证明的仅仅是 Special Honest Verifier Zero-Knowledge（SHVZK）。SHVZK 要求协议中的 Bob 的行为不能不按常理出牌，好比他必需按协议约定，在第二步时，去传送带上取一个新鲜的随机数，而且当纵然用。而凡是意义上的「零常识」是不会对 Bob 做任何要求，所以我们说这里是一个弱一些的性质。固然今朝 Schnorr 协议不能证明完全的「零常识」，但颠末添加一些协议步调，就可以到达完全零常识的目标，细节这里不展开，有乐趣的读者请参考文献[4]。今后我们在接头 Fiat-Shamir 调动时，还会再次接头这个问题。
z 的计较和验证进程很有趣，有几个要害能力：
Schnorr 协议充实操作了有限域和轮回群之间单向映射，实现了最简朴的零常识证明安详协议：Alice 向 Bob 证明她拥有 PK 对应的私钥 sk。
第二步：Bob 要提供一个随机数举办挑战，我们把它称为 c。
所谓「模仿条件」是指，通过「模仿」要领来实现一个「抱负世界」，使之与「现实世界」不行区分；而由于在抱负世界中不存在常识，所以可以推导出结论：现实世界满意「零常识」。
只有「常识」在存在的前提下，担保「零常识」才有意义。
PK = aG
Zero-Knowledge —— 零常识3. 尚有，在协议第一步中发生的随机数 r 担保了 a 的保密性。因为任何一个奥秘当和一个切合「一致性漫衍」的随机数相加之后的和仍然切合「一致性漫衍」。
但是，这是为什么呢？
借用暗码学家 Boaz Barak 的话，翻译一下，「零常识证明」并不是通过给出一个不答允产生的事件列表来界说，而是直接给出了一个最极致的「模仿条件」。第三步：Alice 按照挑战数计较 z = r + a * c，同时把 z发给 Bob，Bob通过下面的式子举办检讨：z*G ?= R + c*PK = rG + c*(aG)
Soundness —— 靠得住性
请留意「映射」这个词，我们这里先扼要先容「同态」这个观念。椭圆曲线群有限域之间存在着一种同态映射干系。有限域，我们用 Zq 这个标记暗示，个中素数 q是指有限域的巨细，它是指从 0, 1, 2, …, q-1 这样一个整数荟萃。而在一条椭圆曲线上，我们通过一个基点，G，可以发生一个「轮回群」，标志为 0G, G, 2G, …, (q-1)G，正好是数量为 q 个 曲线点的荟萃。任意两个曲线点正好可以举办一种「非凡的二元运算」，G + G = 2G，2G + 3G = 5G，看起来这个二元运算仿佛和「加法」雷同，满意互换律和团结律。于是我们就用 +这个标记来暗示。之所以把这个群称为轮回群，因为把群的最后一个元素 (q-1)G，再加上一个 G就回卷到群的第一个元素 0G。我们可以看出来「靠得住性」和「完备性」有一种「对称性」。靠得住性担保了恶意的 Alice 必然失败，而完备性担保了厚道的 Alice 必然乐成。
也就是说，假如任意给一个椭圆曲线轮回群上的点 R，那么到底是有限域中的哪一个整数对应 R，这个计较是很难的，假如有限域足够大，好比说 256bit 这么大，我们暂时可以认为这个反向计较是不行能做到的。
导言：有些理论很是有趣，零常识证明即是个中之一，探索了许久，想写点什么，与各人一起接头。本文是『摸索零常识证明』系列的第三篇。全文约 8,000 字，少量数学公式。
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