注：本文作者是Gauntlet首创人Tarun Chitra、placeholder研究员Alex Evans以及斯坦福电气工程博士Guillermo Angeris，原文标题为《Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)》

在本系列文章的第一篇，我们研究了恒定函数做市商（CFMM）的生意业务函数曲率是如何影响生意业务者行为的，我们还提到了我们将宣布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》，个中会说明价值不变性与曲率的干系。追念一下，非正式地说，CFMM生意业务函数的曲率描写了CFMM在一笔小生意业务后的报价绝对变革。当CFMM是主要市场时，一笔生意业务对沟通资产的次级市场的影响，取决于两个市场的曲率比率。这说明白一个概念，即市场之间的价值不变性与市场的曲率密切相关。而一个自然的问题是：为什么理性的活动性提供者（LP）选择将活动性放在主要市场可能次级市场？可能，他们是如何较量这些市场的回报的？

在这篇文章中，我们将着重从两个角度答复这些问题： 证明LP在均值回归资产对的环境下可以或许得到最大的利润；在生意业务者把握信息的环境下，权衡LP面对的逆向选择; 第二种环境下的LP收益，雷同于Albert Kyle、Lawrence Glosten以及Paul Milgrom（2020年诺贝尔眷念奖得主）的经典市场微观布局功效。我们将证明，LP收益的这两个方面都与曲率密切相关。这些功效表白，CFMM的形状不只抉择了主要市场的不变性，并且还节制了LP的预期损益。

均值回归是最佳的  

对付给定的价值变换，较低曲率的CFMM将给LP带来更大的损失。同时，较低的曲率提供了较低的滑点，从而吸引更多的生意业务者和手续费收入。研究无常损失与用度之间的衡量，可以让LP优化其回报。而最优曲率将取决于市场的行为。在这里，我们可以选择两种模子：一种是对独立于市场机制的外部价值进程举办建模，另一种是直接对基本市场微观布局举办建模。

就前者而言，该进程的相关特征是相关性、颠簸性以及均值回归。对付均值回归资产，“收益率最优”曲率凡是较低。CFMM活动性提供者从均值回归中赢利，因为储蓄金规复到了以前的程度，而用度则是双向累积的。在强均值回归资产的环境下，无常损失的风险较低，活动性提供者（LP）可以提供较低的曲率来吸引生意业务者。最知名的例子就是Curve，其不变币凡是在1美元的价值四周彷徨，套利者很快就会更正偏离这些程度的环境。因此，Curve提供了一种超低曲率的CFMM，它比Uniswap等同等的高曲率池吸引了更多的生意业务乐趣。只要不变币继承回归至美元代价的平均值，Curve LP的表示将优于其它高曲率CFMM的LP。在我们的论文中，我们证明白一个简朴的功效，即对付均值回归资产，要让LP获益，协议需收取的用度取决于曲率：

对付正的常数C > 0。

许多协议具有随时间变革的生意业务函数。在下面，我们看到了Yield协议（左）和Notional协议（右）的边际价值函数。

这两个协议旨在提供牢靠利率贷款并有效操作CFMM的曲率来节制用户的鼓励。在时间t，这些系统的用户有效地建设了在时间t + T到期的牢靠利率，零息债券。用户建设债券时，他们以低于1债券/ 1 Dai的价值锻造债券。用户可以在CFMM市场上用Dai生意业务债券，而Dai面对的滑点反应了提前赎回的本钱。这雷同于在传统的回购协议市场中提前赎回债券。当我们靠近时间t + T时，CFMM曲率会低落，从而鼓励用户封锁其债券（譬喻，将其生意业务为Dai）。到期时，该CFMM没有曲率，这意味着用户可以用1:1的比例兑换Dai。请留意，跟着我们越来越靠近到期日，这些CFMM的设计会勉励均值回归（譬喻，到达1：1）。以上我们的功效表白，在设计这种机制时，还需要调解用度，以确保LP有利可图。

市场微观布局  

描写LP收益的另一种要领，是思量LP、套利者和知情生意业务者之间博弈的预期利润。为了构建我们的游戏，我们首先从传统的市场微观布局文献中罗致灵感。在这些文献中，好比 Kyle的持续拍卖和黑幕生意业务（1985），思量了做市商与噪音和知情生意业务者之间的博弈。在这些模子中，假设每个参加者都有一个计策来提供他们愿意生意业务的价值和数量。譬喻，知情生意业务者大概知道某项资产的每股收益在上升，并努力买入，直到新的市盈率与本来的沟通。另一方面，做市商有一个计策来发生他们愿意在订单中报价的价值和数量，而噪音生意业务者购置的是完全随机的数量。在给定一组市场参加者计策的环境下，我们试图找出是否存在市场平衡，假如存在，我们是否可以计较它。

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