verifier 可以和 prover 勾串，汇报他暗码参数 s, α，有了这些参数 prover 就可以伪造证明，就像前面 remark 3.1 提到的那样。
加密值相乘
留意：配对操纵是通过改变椭圆曲线来实现这些性质的，此刻我们用的标记 gⁿ 就代表曲线上一个由生成元自相加了 n 次的点，而不是我们前面用到的乘法群生成元。
名誉的是，因为我们可以利用配对来乘以加密值，所以我们就可以从第一个参数开始逐一执行一致性校验，而且确保了每个参数都源于前一个。
有一个问题是如何验证参加者在生成 CRS 时用的随机数值是一致的，因为进攻者可以生成多个差异的随机数 s₁, s₂, … 和 α₁, α₂, …，然儿女入这些差异的随机数去执行 s 的差异次幂计较（或提供随机数作为一个 CRS 的扩充），从而使 CRS 无效可能不行用。
even@ 安比尝试室：总结一下这篇文章中一步一步办理了下面的几个问题：
非交互中如何配置安详果真且可复用的参数——> 参数加密，verifier 借助暗码配对举办验证
因而，我们就需要一个可以被反复利用，果真，可信，又不会被滥用的奥秘参数。
even@ 安比尝试室: 借助这个」无本钱的」能力，就可以轻松实现零知了。可是这里实现零常识的要领和实际中的 Pinocchio 协议，尚有 Groth16 方案略有差异。实际方案中是用乘法乘以 δ^(δ·t(s))。
至此，一个用来证明多项式常识的完整的 zk-SNARK 协议就结构出来了，不外此刻的协议在通用性上依然尚有许多限制，后头的文章将继承先容如何结构通用的 zk-SNARK。
留意：乍一眼看已往，这个限制大概会阻碍相关成果的实现，但在 zk-SNARK 中这反而是担保安详模式的最重要性质，拜见 remark 3.3。
留意零常识是如何垂手可得地融入到这个布局中去的，这凡是也被称为”无本钱的”零常识。有了配对，我们此刻就筹备去配置安详果真且可复用的参数了。假定一下我们让一个厚道的参加方来生成奥秘值 s 和 α。只有 α 和所有须要的 s 的幂及其对应的 α-调动被加密了，那么原始数据就必需要被删除（i 为 0，1,…,d）：
原文链接
原文标题：《从零开始进修 zk-SNARK（二）——多项式的非交互式零常识证明》
a）Alice 有一个值 a，她想要 Bob 对其举办任意指数的求幂（这里 a 是一个有限域群的生成器），独一的要求是只能对 a 举办求幂，为了担保这一点，她要：
verifier 知道 prover 有一个有效的多项式，可是并不知道是哪一个。我们可以操作多项式的其他性质添加特另外证明，如:被多个多项式整除，是某个多项式的平方。固然大概会有一个处事可以或许接管，存储和嘉奖所有颠末证明的多项式，可能有一个需求，加密计较某种形式的未知多项式。然而若有通用方案就可以支撑无数的应用。
到此刻为止，我们已经讲完了一个交互式的零常识方案。但为什么我们还需要有非交互式呢？因为交互式证明只对原始的 verifier 有效，其他任何人（其他的 verifier）都不可以或许信任这个证明，因为：
(ac)α = (a’)c
翻译 & 注解：even@ 安比尝试室（even@secbit.io）
这个布局「限制」prover 只能用 verifier 提供的加密的 s 举办计较，因而 prover 只能将系数 c 赋给 verifier 提供的多项式。此刻我们可以扩展这种单项式上的要领到多项式上，因为计较是先将每项的分派分隔计较然后再「同态地」相加在一起的（这个要领是 Jens Groth 在 [Gro10] 中先容的）。所以假如给定 prover 一个指数为 s 的幂以及它们的调动的加密值，他就可以计较原始的和调动后的多项式，这里也必需要满意同样的校验。对付阶数为 d 的多项式：
Bob 只能用 Alice 原本的元组来保持 α 干系
Remark 3.3 假如 pairing 的功效有大概在其它雷同的乘法协议中被复用，那么这里就完全没有安详性可言了，因为这样的话 prover 就可以结构
(b)α = b’
担保 prover 的证明是凭据法则正确结构的——> KEA
选择一个随机数 α
verifier 也可以利用同样的要领本身伪造证明。
Bob 在元组的两个值的计较上都用了同一个指数（即 c）
参考文献
结论是：
[DK18]—Apoorvaa Deshpande and Yael Kalai. Proofs of Ignorance and Applications to 2-Message Witness Hiding. Cryptology ePrint Archive, Report 2018/896. https://eprint.iacr.org/2018/896. 2018.
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