3.2 Borromean Ring Signatures应用于范畴证明
(2)ransaction Verifification
由于钱币金额是界说在有限域上的，所以进攻者可以在满意输入便是输出的环境下，，通过输出溢出（输出大于有限域的阶）来发生巨额自由钱币（有限域阶的整数倍）。好比有限域的阶是10，输入是1，输出是5和6，固然满意（5+6）mod 10=1，但产生溢出，即5+6大于10，故凭空多了10个钱币。所以检测并阻止溢出而发生自由钱币是十分须要的。
3. rang proofs
1.1 一次性密钥：
在签名的链接阶段，将沟通的I举办链接，第二次签名作废，制止用同一个密钥对举办两次环签名，即：每个密钥对只答允签名一次，从而制止了反复耗费。
通过链接机制实现，链接机制通过I:“key-image”实现：
P=H(rB)，个中P是生意业务的一次性密钥，H是哈希函数，B是转账吸收方的果真密钥，r是发送方选取的随机数。发送方阿把rG发送给吸收方，接管方由rG的到brG=rB，进而计较出P。即可通过P来检讨生意业务的有效性。
环机要生意业务（Ring Confidential Transaction）回收CryptoNote协议。需要实现：（1）去中心化；（2）匿名；（3）埋没生意业务金额。 个中（1）是通过proof-of-work“挖矿”机制来实现的。（2）是通过一次性密钥实现的。（3）是通过多层可链接自发匿名群签名（MLSAGS）并团结Pedersen Commitment实现的。别的还应抵挡“二次耗费”进攻，并举办性范畴证明。
1.Introduction
与MLSAG验证步调沟通。
假设取范畴证明中的正整数是2的n次方，即证明每个输出都在0到2的n次方之间。
1.2 埋没生意业务金额：
范畴证明就是证明每一个输出都在某一正整数范畴内。溢出可分为两种环境：（1）存在一些较大的输出（等价于绝对值较小的负输出）（2）大量较小的输出。可以通过配置有限域的阶＋范畴证明来配合检测和阻止这两种环境。通过把有限域的阶配置得足够大（好比2得256次方），把范畴证明中的正整数配置得足够小（好比2的64次方，大于系统内钱币总额即可），使得（1）时范畴证明不通过，（2）时因输出个数庞大而不行行（好比上个例子在通过范畴证明的环境下发生溢出最少需要2的196次方个输出）。
1.3 防备两次耗费：
将Confifidential Transactions插手MLSAGS。
今朝雷达（RADR）已经实现了Ring Transaction，可以或许消除生意业务两边的关联性，并即将产物化在主网上线。详细要领为，发送方提倡一笔RingDeposite生意业务向环存入相应金额，当环累计必然数量的生意业务（沟通金额）后即可提倡RingWithdraw，环上没有任何证据可以证明某两笔RingDeposite和RingWithdraw之间存在关联性，从而掩护该环内生意业务多方的关联性隐私。这个在WhitePaper里有具体的叙述。相关代码见 https://github.com/radrbiz/radard/blob/master/src/ripple/app/tx/impl/RingDeposit.cpp和?https://github.com/radrbiz/radard/blob/master/src/ripple/app/tx/impl/RingWithdraw.cpp 。环签名回收的曲线为AltBn128，代码见 https://github.com/radrbiz/radard/blob/master/src/ripple/crypto/impl/AltBn128.cpp ，这个曲线较好的均衡了安详性和机能，Ethereum中也内置了雷同的曲线。
2.3 Ring CT For Monero Protocol
2. MLSAG
1.4 范畴证明：
3.1 Borromean Ring Signatures
2.1 LSAG（Back）
可以利用Borromean Ring Signatures来实现。
2.2 MLSAG(对LSAG的推广）
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